基本概念
设想空气经过风能机后动能被完全吸收，空气速度变为零而不再流动。这种情况下风能机就像一堵墙，无法获取空气动能；所以风能机必须让空气流动经过。
风能机后方的空气流速慢于前方，需要占用更大的空间，风能机的动能转化效率存在一个最大值。
证明过程
(A) 伯努利定律：
$$ \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh + p = const\ ~\ p + \frac{1}{2}\rho v^2_1 = p_1 + \frac{1}{2}\rho v^2\ ~\ p + \frac{1}{2}\rho v^2_2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v^2 $$
计算得：
$$ p_1 - p_2 = \frac{1}{2}\rho (v^2_1 - v^2_2) \tag{1} $$
$$p$$ - 风叶处压强 $$p_1$$ - 风叶前方压强 $$p_2$$ - 风叶后方压强
$$v$$ - 风叶处风速 $$v_1$$ - 风叶前方风速 $$v_2$$ - 风叶后方风速
$$ F = \frac{dP}{dt} ~\ ~\ A(p_1 - p_2) = \rho Av(v_1 - v_2) \tag{2} $$
$$A$$ - 风叶面积
带入 $$(1)$$ 得到：
$$ v = \frac{1}{2}(v_1 + v_2) \tag{3} $$
$$ \begin{aligned} P &= \frac{1}{2}\rho Av(v^2_1 - v^2_2)\ ~\ &= \frac{1}{4}\rho A(v_1 + v_2)(v_1^2 - v_2^2) \end{aligned} \tag{4} $$
将 $$v_1$$ 和 $$v_2$$ 那部分视为 $$v_2$$ 的函数：
$$ f(v_2) = -v_2^3 - v_1v_2^2 + v_1^2v_2 + v_1^3 $$
该函数极值点为：
$$ v_2 = \frac{v_1}{3} $$
风能机在极致点的功率为：
$$ P = \frac{8}{27}\rho Av_1^3 $$
风能机前方空气的动能为：
$$ E = \frac{1}{2}\rho Av_1^3 $$
可得风能机的转化效率为:
$$ \frac{16}{27} \approx 0.593 $$
此即为贝茨极限